Questão 170 — ENEM 2020Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão e proporção; frações; divisão de capital
• ⚡ Nível: Difícil — descobrir a fração que Antônio compra de cada sócio para igualar as participações
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Aplicar proporção para redistribuir partes
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Que fração do capital de cada um dos outros dois sócios Antônio compra para os três ficarem iguais?"
• Palavras-chave decisivas: capital proporcional a 4, 6 e 6, igualar as participações, fração comprada de cada um dos outros dois
• Armadilha típica: Esquecer que ele compra dos DOIS sócios (soma dupla) ou não igualar a 1/3 do total
• O que a resposta precisa demonstrar: Cada sócio deve ficar com 16/3 partes; Antônio precisa ganhar 4/3, comprando de dois de 6 partes cada

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Total de partes: 4 + 6 + 6 = 16
• Participação igual: 16 / 3 partes para cada
• Antônio precisa ganhar: 16/3 − 4 = 4/3 partes, adquirindo uma fração f de cada sócio (6 partes cada)

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "igualar a participação dos três" → cada um com 16/3
• Evidência 2: "adquirir fração de cada um dos outros dois" → ganho = 2 × (f × 6)
• Síntese: 12f = 4/3 → f = 1/9

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Meta de cada sócio

Total 16 partes ÷ 3 = 16/3 partes cada.

Subpasso 4.2 — Ganho necessário de Antônio

16/3 − 4 = 16/3 − 12/3 = 4/3 partes.

Subpasso 4.3 — Fração comprada de cada sócio

Ele compra f de cada um dos dois (6 partes): 2 × 6f = 12f = 4/3 → f = 4/36 = 1/9 → alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/2. ❌ Incorreta: compraria metade de cada, muito além do necessário.

B) 1/3. ❌ Incorreta: excede o ganho de 4/3 partes.

C) 1/9. ✅ Correta: 12 × (1/9) = 4/3, exatamente o ganho necessário.

D) 2/3. ❌ Incorreta: fração muito grande.

E) 4/3. ❌ Incorreta: fração maior que 1 (impossível para "fração do capital de cada um").

🏆 Gabarito: C — Antônio compra 1/9 do capital de cada sócio (12 × 1/9 = 4/3 partes).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: ganho 4/3 = 12f → f = 1/9 (C).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra redistribuição proporcional de partes.
• Generalização: para igualar, cada um deve ter (total)/(nº de sócios); ajuste as diferenças por frações.
• Dica de eliminação rápida: ele compra de DOIS sócios (fator 2×6=12); frações > 1 (E) são impossíveis.
• Conexões com outros temas: razão e proporção; frações; equações.