Mapa de questões · 2º dia
Questão 161 — ENEM 2020Caderno azul · 2º Dia
Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d'água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d'água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d'água do tipo A.
Se R denota o raio da caixa-d'água do tipo A, então o raio da caixa-d'água do tipo B é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Volume do cilindro; relação entre raio e altura a volume constante
- ⚡ Nível: Médio — igualar os volumes e isolar o raio
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Relacionar raio e altura de cilindros de mesmo volume
- 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual o raio da caixa B, se ela tem o mesmo volume da A e altura igual a 25% da de A?"
- Palavras-chave decisivas: mesmo volume, altura de B = 25% da de A, raio de A = R
- Armadilha típica: Achar que o raio dobra na mesma proporção da altura; a relação é pelo quadrado do raio
- O que a resposta precisa demonstrar: V = πr²h → r_B² · h_B = r_A² · h_A, com h_B = 0,25 h_A
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Volume do cilindro: V = π r² h
- Mesmo volume: r_A² · h_A = r_B² · h_B
- Altura de B: h_B = 0,25 h_A = h_A/4
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "mesmo volume" → r_A² h_A = r_B² h_B
- Evidência 2: "h_B = 25% de h_A" → h_B = h_A/4
- Síntese: r_B² = r_A² · h_A / (h_A/4) = 4 r_A² → r_B = 2R
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Igualar volumes
π r_A² h_A = π r_B² h_B → r_A² h_A = r_B² h_B.
Subpasso 4.2 — Substituir h_B
r_B² = r_A² · h_A / (h_A/4) = 4 r_A².
Subpasso 4.3 — Isolar o raio
r_B = √(4 r_A²) = 2 r_A = 2R → alternativa B.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) R/2. ❌ Incorreta: reduziria o raio, mas com altura menor o raio deve AUMENTAR.
B) 2R. ✅ Correta: r_B² = 4R² → r_B = 2R.
C) 4R. ❌ Incorreta: confunde o fator do raio (2) com o do raio ao quadrado (4).
D) 5R. ❌ Incorreta: sem correspondência com o cálculo.
E) 16R. ❌ Incorreta: exageradamente grande.
🏆 Gabarito: B — Como r_B² = 4R², o raio da caixa B é 2R.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: altura ÷4 → raio² ×4 → raio ×2 = 2R (B).
- Padrão de cobrança: o ENEM cobra a relação raio-altura a volume constante (r² inversamente proporcional a h).
- Generalização: a volume fixo, se a altura cai k vezes, o raio cresce √k vezes.
- Dica de eliminação rápida: o raio cresce (não diminui) quando a altura cai; e cresce por √4 = 2, não 4.
- Conexões com outros temas: volume de cilindros; proporcionalidade; radiciação.
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