Questão 146 — ENEM 2014Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Divisores e fatoração
• ⚡ Nível: Difícil — as condições fixam z = 0.
• 🎯 Tema/Habilidade: O número de divisores de N.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa

🔎 Passo 1 — O que a questão pede

• Comando: o número de divisores de N diferentes do próprio N.
• Estrutura da questão: N = 2ˣ · 5ʸ · 7ᶻ, é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
• Armadilha antecipada: esquecer de excluir o próprio N. A fórmula conta todos os divisores, inclusive ele.

📚 Passo 2 — O conceito em jogo

O número de divisores positivos de um número fatorado é o produto dos expoentes acrescidos de uma unidade.

Ser múltiplo de 10 exige x ≥ 1 e y ≥ 1; não ser múltiplo de 7 exige z = 0.

Excluir o próprio N significa subtrair 1 do total de divisores.

🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta

Total de divisores: (x + 1)(y + 1)(z + 1).

Exclua o próprio N: (x + 1)(y + 1)(z + 1) − 1.

Com z = 0, essa expressão equivale a (x + 1)(y + 1) − 1 — alternativa E.

🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas

• A) ✗ Incorreta. O produto dos expoentes não conta os divisores: falta somar uma unidade a cada um.
• B) ✗ Incorreta. Conta corretamente o total de divisores com z = 0, mas inclui o próprio N.
• C) ✗ Incorreta. A expressão não corresponde à fórmula do número de divisores.
• D) ✗ Incorreta. Com z = 0, essa expressão se anula, o que é impossível.
• E) ✓ Correta. É o total de divisores dado pela fórmula, subtraído de uma unidade para excluir o próprio N.

🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão

Expoente mais um, tudo multiplicado. E menos um quando o próprio número não conta.