Mapa de questões · 2º dia
Questão 175 — ENEM 2013Caderno azul · 2º Dia
Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria analítica
- ⚡ Nível: Fácil — equidistante de três pontos é o circuncentro.
- 🎯 Tema/Habilidade: A localização da torre de transmissão.
- 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: as coordenadas do local da torre.
- Estrutura da questão: a torre deve ficar equidistante das três antenas representadas no plano.
- Armadilha antecipada: calcular a média das coordenadas das três antenas. Isso dá o baricentro, que não é equidistante dos vértices.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
O ponto equidistante de dois pontos está na mediatriz do segmento que os une.
Duas antenas na mesma altura têm mediatriz vertical, de equação x igual à média das abscissas.
O ponto equidistante dos três é a interseção das mediatrizes — o circuncentro do triângulo, que não coincide com a média das coordenadas.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
As antenas A = (30, 20) e B = (70, 20) estão na mesma altura, então a mediatriz delas é a reta x = 50.
Sobre essa reta, imponha distância igual até a antena C = (60, 50).
A ordenada que satisfaz a condição é y = 30, logo o ponto é (50, 30) — alternativa E.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. (65 ; 35) não está sobre a mediatriz de A e B.
- B) ✗ Incorreta. (53 ; 30) tem abscissa diferente de 50 e não é equidistante de A e B.
- C) ✗ Incorreta. (45 ; 35) também está fora da mediatriz x = 50.
- D) ✗ Incorreta. Está sobre a mediatriz, mas a distância até C não iguala as demais.
- E) ✓ Correta. Está sobre a mediatriz de A e B e à mesma distância de C: é o circuncentro do triângulo.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Equidistante de dois pontos é mediatriz. De três, é o cruzamento delas — não a média.
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