Mapa de questões · 2º dia
Questão 165 — ENEM 2013Caderno azul · 2º Dia
Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Contagem com restrição
- ⚡ Nível: Muito difícil — o losango pode ser girado meia volta.
- 🎯 Tema/Habilidade: O número de joias diferentes.
- 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: quantas joias diferentes o artesão pode obter.
- Estrutura da questão: são quatro vértices, três cores e a restrição de que vértices consecutivos tenham cores diferentes.
- Armadilha antecipada: parar na contagem das 18 configurações. A joia é um objeto: girada meia volta, ela é a mesma peça.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Contando por posições fixas: 3 cores para o primeiro vértice, 2 para o seguinte, e o restante depende de o terceiro repetir ou não a cor do primeiro — o total é 18 configurações rotuladas.
Um losango não quadrado admite apenas a rotação de meia volta como simetria, porque as duas diagonais têm comprimentos diferentes. É por isso que o enunciado faz questão de dizer que não é quadrado.
Nessa rotação, os vértices opostos trocam de lugar: uma configuração coincide consigo mesma apenas quando os pares opostos têm cores iguais — o que ocorre em 6 das 18.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Conte as configurações com vértices rotulados: são 18 coloriedas válidas.
Dessas, 6 ficam inalteradas ao girar a joia meia volta; as outras 12 se emparelham duas a duas.
Joias distintas: 6 + 12 ÷ 2 = 12 — alternativa B.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 6 corresponde apenas às configurações que permanecem iguais após o giro.
- B) ✓ Correta. Das 18 configurações rotuladas, 6 são invariantes pelo giro e as demais se emparelham: 6 + 6 = 12 joias distintas.
- C) ✗ Incorreta. 18 é a contagem com os vértices rotulados, sem considerar que a joia pode ser girada.
- D) ✗ Incorreta. 24 excede o total de configurações válidas com a restrição de cores.
- E) ✗ Incorreta. 36 corresponderia a contar sem a restrição de cores entre vértices consecutivos.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
O enunciado diz não quadrado por um motivo: sobra só o giro de meia volta, e é ele que reduz 18 a 12.
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