Mapa de questões · 2º dia
Questão 157 — ENEM 2013Caderno azul · 2º Dia
Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m3.
Considere 3 como valor aproximado para π.
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Volume do cilindro
- ⚡ Nível: Médio — o volume da água é a diferença entre dois cilindros.
- 🎯 Tema/Habilidade: O raio máximo da ilha de lazer.
- 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: o raio máximo r da ilha de lazer.
- Estrutura da questão: a piscina é cilíndrica com 1 m de profundidade e 12 m³; o espaço para a água deve ter no mínimo 4 m³.
- Armadilha antecipada: calcular o volume da ilha em vez do volume restante de água. O limite é sobre a água, não sobre a ilha.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Volume do cilindro: V = πR²h. Com h = 1 m, o volume é numericamente igual a πR².
O espaço da água é a diferença entre o cilindro da piscina e o cilindro da ilha: π(R² − r²)h.
Quanto maior a ilha, menor a água — então o raio máximo da ilha corresponde ao volume mínimo de água.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Da piscina: πR² · 1 = 12, com π ≈ 3, logo R² = 4.
Condição da água: 3(4 − r²) · 1 ≥ 4, o que dá 4 − r² ≥ 4/3, ou seja, r² ≤ 8/3 ≈ 2,67.
Raio máximo: r ≤ √2,67 ≈ 1,63, valor mais próximo de 1,6 — alternativa A.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✓ Correta. De r² ≤ 8/3 ≈ 2,67 resulta r ≈ 1,63, o valor mais próximo entre as opções.
- B) ✗ Incorreta. 1,7 daria r² ≈ 2,89, deixando a água com menos de 4 m³.
- C) ✗ Incorreta. 2,0 daria r² = 4, o que ocuparia toda a piscina.
- D) ✗ Incorreta. 3,0 excede o próprio raio da piscina, que é 2 m.
- E) ✗ Incorreta. 3,8 é maior que o raio da piscina e não faz sentido no problema.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Ilha máxima é água mínima. Escreva a condição sobre a água e o resto sai sozinho.
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