Mapa de questões · 2º dia
Questão 138 — ENEM 2013Caderno azul · 2º Dia
Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Princípio multiplicativo
- ⚡ Nível: Médio — cada posição admite todos os símbolos.
- 🎯 Tema/Habilidade: O aumento no número de senhas possíveis.
- 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: quantas vezes o número de senhas possíveis aumentou.
- Estrutura da questão: antes eram 10 símbolos por posição; agora são 62, em senhas de seis dígitos.
- Armadilha antecipada: usar fatorial. Fatorial serve para permutar elementos distintos sem repetição, e aqui há repetição permitida.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Com repetição permitida, cada uma das seis posições admite todos os símbolos disponíveis: o total é o número de símbolos elevado a seis.
O novo alfabeto reúne 26 maiúsculas, 26 minúsculas e 10 algarismos: 26 + 26 + 10 = 62 símbolos.
O aumento é a razão entre o novo total e o antigo, e não a diferença entre eles.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Total antigo: 10⁶ senhas.
Total novo: 62⁶ senhas.
O aumento é a razão entre eles: 62⁶/10⁶ — alternativa A.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✓ Correta. É a razão entre o novo total, 62⁶, e o anterior, 10⁶.
- B) ✗ Incorreta. Fatorial se aplica a permutações sem repetição, que não é o caso das senhas.
- C) ✗ Incorreta. A expressão corresponde a uma combinação, e a ordem dos dígitos importa na senha.
- D) ✗ Incorreta. Além de usar fatorial indevidamente, subtrai em vez de dividir.
- E) ✗ Incorreta. A diferença entre os totais não responde quantas vezes o número aumentou.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Quantas vezes aumentou é divisão, não subtração. E com repetição a conta é potência, não fatorial.
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