Mapa de questões · 2º dia
Questão 137 — ENEM 2012Caderno azul · 2º Dia
O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.
O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria plana (tangência e perímetro)
- ⚡ Nível: Médio — o lado do losango é a soma dos dois raios.
- 🎯 Tema/Habilidade: O aumento do perímetro ao dobrar dois raios.
- 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: de quanto aumentou o perímetro do losango.
- Estrutura da questão: os vértices são centros de circunferências tangentes. Cada lado vale a soma dos raios das duas circunferências que ele liga.
- Armadilha antecipada: supor que dobrar o raio dobra o perímetro. Só duas das quatro circunferências mudaram, e cada lado liga uma grande a uma pequena.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Quando duas circunferências são tangentes externamente, a distância entre seus centros é a soma dos raios.
Na Figura 1, todas têm raio r, então cada lado do losango mede r + r = 2r, e o perímetro é 8r.
Na Figura 2, duas circunferências opostas passam a ter raio 2r. Cada lado liga sempre uma de raio r a uma de raio 2r, então cada lado mede r + 2r = 3r.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Perímetro da Figura 1: quatro lados de 2r, totalizando 8r.
Perímetro da Figura 2: quatro lados de 3r, totalizando 12r.
Aumento: (12r − 8r) ÷ 8r = 4r ÷ 8r = 0,5, ou seja, 50% — alternativa E.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 300% corresponderia a um perímetro quatro vezes maior, e ele passou de 8r para 12r.
- B) ✗ Incorreta. 200% significaria triplicar o perímetro, o que não ocorre.
- C) ✗ Incorreta. 150% corresponderia a 20r de perímetro final.
- D) ✗ Incorreta. 100% seria dobrar o perímetro, chegando a 16r — mas ele chegou a 12r.
- E) ✓ Correta. O perímetro passou de 8r para 12r, o que representa aumento de metade do valor original.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Em circunferências tangentes, a distância entre centros é a soma dos raios. Todo o resto sai daí.
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