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Mapa de questões · 2º dia
ENEM 20182º dia · 90
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MatemáticaMatemáticaDifícil

Questão 161 — ENEM 2018Caderno azul · 2º Dia

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os
bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de
temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura
menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

Alternativas

Resolução

Ficha da Questão

  • Matérias Necessárias: Matemática → geometria analítica; círculo de Apolônio
  • Nível: Difícil — lugar geométrico com razão 2:1
  • Tema/Habilidade: Círculo de Apolônio
  • Gabarito: B

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

  • Comando reformulado: "Qual a maior distância entre dois bombeiros com distância a A = 2·distância a B?"
  • Palavras-chave decisivas: PA = 2·PB, AB = 30 m
  • Armadilha típica: pensar que é reta simples.
  • O que a resposta precisa demonstrar: lugar geométrico é um círculo de Apolônio; diâmetro = 40 m.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

  • Círculo de Apolônio: conjunto de pontos com razão de distâncias constante a dois pontos fixos.
  • Construção: divisão interna (razão 2:1) e externa geram os extremos do diâmetro.
  • Pontos de divisão: em AB = 30, divisão interna com razão 2:1 a partir de A → P1 = 20 m de A, 10 de B. Divisão externa (mesmo razão): P2 = 60 m de A, 30 de B (externo).
  • Diâmetro = |P2 − P1| = 60 − 20 = 40 m.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

  • Síntese: maior distância entre dois bombeiros = diâmetro = 40 m.

Passo 4 — Resolução Completa

Subpasso 4.1 — Divisão interna

Ponto P1 entre A e B com PA = 2·PB: PA = 20, PB = 10.

Subpasso 4.2 — Divisão externa

Ponto P2 além de B com PA = 2·PB: PA = 60, PB = 30 (ambos do mesmo lado).

Subpasso 4.3 — Diâmetro

60 − 20 = 40 m → alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 30, C) 45, D) 60, E) 68. ❌

B) 40. ✅ Correta.

Gabarito: B

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

  • Reafirmação do gabarito: diâmetro do Apolônio = 40 m.
  • Padrão de cobrança: lugares geométricos são clássicos.
  • Generalização: razão de distâncias constante gera círculo (Apolônio).
  • Dica de eliminação rápida: descarte valores iguais ou maiores que 60 m (limite externo).