Mapa de questões · 2º dia
Questão 138 — ENEM 2018Caderno azul · 2º Dia
Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), 6(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0; 2).
Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias Necessárias: Matemática → geometria analítica; circunferência
- Nível: Médio — testar quais pontos satisfazem cada equação
- Tema/Habilidade: Reconhecimento de circunferência que passa pela origem
- Gabarito: E
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Passando por A(0;4), que equação dá maior pontuação?"
- Palavras-chave decisivas: reta (1 ponto) vs. circunferência (2 pontos), pontos restantes: A(0,4), B(4,4), C(4,0), D(2,2), E(0,2)
- Armadilha típica: pensar que a circunferência x²+y²=16 atinge só A.
- O que a resposta precisa demonstrar: (x−2)²+(y−2)²=8 passa pela origem, atinge A, B, D.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Equação da circunferência: (x−a)²+(y−b)²=r².
- Passa pela origem: a²+b²=r².
- Testar cada ponto: substituir e verificar.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: (x−2)²+(y−2)²=8 → centro (2,2), r=√8 ≈ 2,83.
- Evidência 2: origem (0,0): (0−2)²+(0−2)²=8 ✓. A(0,4): 4+4=8 ✓. B(4,4): 4+4=8 ✓. D(2,2): 0+0=0 ≠ 8 (D está no centro, não na circunferência). Hmm, precisa rechecar.
- Recalculando D(2,2): (2−2)² + (2−2)² = 0 ≠ 8, então D NÃO está na circunferência. Os pontos na circunferência: A, B e origem (mais C?): C(4,0): 4+4=8 ✓.
- Então (x−2)²+(y−2)²=8 passa por origem, A(0,4), B(4,4), C(4,0) → 3 pontos de 2 pts cada = 6 pts.
- Síntese: alternativa E dá a maior pontuação.
Passo 4 — Resolução Completa
Subpasso 4.1 — Testar E
Origem ✓, A ✓, B ✓, C ✓. Pontos não-origem = 3 → 6 pts.
Subpasso 4.2 — Testar C (x²+y²=16)
Origem? 0+0=0 ≠ 16 → não passa pela origem. Regra exige passar pela origem. Descartada.
Subpasso 4.3 — Testar D (x²+(y-2)²=4)
Origem? 0+(-2)²=4 ✓. A(0,4)? 0+4=4 ✓. E(0,2)? 0+0=0 ≠ 4 → só 2 pts (A e... origem vale zero pontos).
Na verdade preciso checar melhor. A regra: para cada ponto diferente da origem que a equação atinge, vale 2 pontos (se for circunferência). A equação deve passar pela origem.
Testando cada uma pelo requisito "passa pela origem":
- C: x²+y²=16 — (0,0) → 0 = 16 falso → não passa pela origem → descartada.
- D: x²+(y-2)²=4 — (0,0) → 4 = 4 ✓. Pontos não-origem: A(0,4) ✓ (0+4=4), E(0,2) → 0+0=0 ≠ 4, B(4,4) → 16+4=20 ≠ 4, C(4,0) → 16+4=20 ≠ 4, D(2,2) → 4+0=4 ✓. 2 pontos não-origem (A, D) = 4 pts.
- E: (x-2)²+(y-2)²=8 — origem ✓, A ✓, B ✓, C ✓, D: (0+0)=0 ≠ 8, E(0,2): 4+0=4 ≠ 8. 3 pontos não-origem = 6 pts.
Subpasso 4.4 — E dá 6 pts, D dá 4 pts → alternativa E.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) x=0. ❌ Reta (1 pt por ponto) atinge A, E = 2 pts.
B) y=0. ❌ Reta passando por origem atinge C = 1 pt (não passa por A).
C) x²+y²=16. ❌ Não passa pela origem.
D) x²+(y-2)²=4. ❌ 4 pts.
E) (x-2)²+(y-2)²=8. ✅ Correta — 6 pts.
Gabarito: E
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: circunferência centrada em (2,2) com r=√8 passa por origem, A, B e C.
- Padrão de cobrança: geometria analítica é clássica.
- Generalização: escolha a curva que mais pontos atinge.
- Dica de eliminação rápida: descarte retas (1 pt cada) e circunferências que não passam pela origem.