Mapa de questões · 2º dia
Questão 137 — ENEM 2018Caderno azul · 2º Dia
Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula:
V = P × (1 + i)ⁿ
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para In(4/3) e 0,0131 como aproximação para In(1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias Necessárias: Matemática → juros compostos; logaritmo
- Nível: Difícil — aplicar valor presente e log
- Tema/Habilidade: Cálculo de antecipação financeira
- Gabarito: C
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual a primeira parcela com desconto superior a 25%?"
- Palavras-chave decisivas: V = P(1+i)ⁿ, i=1,32%, desconto > 25% → P/V < 0,75 → (1+i)ⁿ > 4/3
- Armadilha típica: errar contagem da parcela (antecipada junto com a 30ª).
- O que a resposta precisa demonstrar: n ≈ 22 meses de antecipação → parcela 30+22 = 52ª.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Valor presente P = V/(1+i)ⁿ.
- Desconto > 25% ⇒ V − P > 0,25V ⇒ P < 0,75V ⇒ (1+i)ⁿ > 4/3.
- Log em ambos os lados: n · ln(1+i) > ln(4/3).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: ln(4/3) ≈ 0,2877.
- Evidência 2: ln(1,0132) ≈ 0,0131.
- Cálculo: n > 0,2877/0,0131 ≈ 21,96 → n = 22.
- Parcela: 30 + 22 = 52ª.
Passo 4 — Resolução Completa
Subpasso 4.1 — Montar inequação
(1,0132)ⁿ > 4/3.
Subpasso 4.2 — Logaritmizar
n > ln(4/3)/ln(1,0132) ≈ 0,2877/0,0131 ≈ 21,96.
Subpasso 4.3 — n inteiro mínimo = 22
Parcela = 30+22 = 52 → alternativa C.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 56ª, B) 55ª, D) 51ª, E) 45ª. ❌
C) 52ª. ✅ Correta.
Gabarito: C
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: 52ª parcela tem desconto > 25%.
- Padrão de cobrança: juros compostos + log é tema clássico.
- Generalização: (1+i)ⁿ > razão requer logaritmo para n.
- Dica de eliminação rápida: descarte parcelas anteriores à 30ª.