Mapa de questões · 2º dia
Questão 154 — ENEM 2018Caderno azul · 2º Dia
Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual
cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é
posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona
de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de
um tabuleiro de dimensão 8 × 8
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça
aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1
5 .
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias Necessárias: Matemática → probabilidade
- Nível: Difícil — desigualdade com n
- Tema/Habilidade: Probabilidade em tabuleiros
- Gabarito: D
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual n mínimo para P(2ª peça na zona de combate) < 1/5?"
- Palavras-chave decisivas: zona de combate = casas da mesma linha ou coluna (excluindo a peça já posta)
- Armadilha típica: contar casas com excesso.
- O que a resposta precisa demonstrar: P = (2n − 2)/(n² − 1) < 1/5.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Zona de combate (sem a própria casa): (n−1) na linha + (n−1) na coluna = 2(n−1) = 2n−2.
- Casas vazias após 1ª peça: n² − 1.
- P: (2n−2)/(n²−1) = 2/(n+1).
- Condição: 2/(n+1) < 1/5 → n+1 > 10 → n > 9 → n mínimo = 10.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência: (2n−2)/(n²−1) = 2(n−1)/[(n−1)(n+1)] = 2/(n+1).
- Condição: n+1 > 10 → n ≥ 10.
Passo 4 — Resolução Completa
Subpasso 4.1 — Simplificar
P = 2/(n+1).
Subpasso 4.2 — Resolver
2/(n+1) < 1/5 → n+1 > 10 → n ≥ 10.
Subpasso 4.3 — Alternativa D.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 4×4: P=2/5. ❌
B) 6×6: P=2/7. ❌
C) 9×9: P=2/10=1/5. ❌ (não estritamente menor)
D) 10×10: P=2/11 < 1/5. ✅ Correta.
E) 11×11. ❌ Maior que necessário.
Gabarito: D
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: n mínimo = 10.
- Padrão de cobrança: probabilidade com parâmetros é tema clássico.
- Generalização: simplifique frações antes de resolver desigualdades.
- Dica de eliminação rápida: descarte n tal que n+1 ≤ 10.