Mapa de questões · 2º dia
Questão 150 — ENEM 2018Caderno azul · 2º Dia
Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.
Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:
• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;
• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;
• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;
• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.
A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:
• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;
• Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;
• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;
• Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.
Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias Necessárias: Matemática → probabilidade sem reposição
- Nível: Difícil — calcular 5 probabilidades compostas
- Tema/Habilidade: Probabilidade condicional
- Gabarito: E
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual opção maximiza a chance de tirar duas pretas consecutivas?"
- Palavras-chave decisivas: sem reposição, troca entre urnas em algumas opções
- Armadilha típica: confundir opções 3 e 5.
- O que a resposta precisa demonstrar: cálculo comparativo; opção 5 dá a maior probabilidade.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Opção 1 (urna A: 3B 2P 1V): P = 2/6 · 1/5 = 2/30 = 1/15 ≈ 0,067.
- Opção 2 (urna B: 6B 3P 1V): 3/10 · 2/9 = 6/90 = 1/15 ≈ 0,067.
- Opção 3 (bolha de C para A, depois A): bola de C (½ P, ½ V). Se P: urna A fica 3B 3P 1V → 3/7·2/6=6/42=1/7. Se V: A fica 3B 2P 2V → 2/7·1/6=2/42=1/21. P total = ½·1/7+½·1/21 = (3+1)/42 = 4/42 ≈ 0,095.
- Opção 4 (bola de D para C, depois C): D (3B 3P) → ½ de bola branca, ½ preta. Se P: C 3P 2V → 3/5·2/4=6/20=3/10. Se B: C 2P 2V 1B → 2/5·1/4=2/20=1/10. P = ½·3/10+½·1/10 = 4/20=1/5=0,20.
- Opção 5 (bola de C para D, depois D): C (2P 2V) → ½ P, ½ V. Se P: D 3B 4P → 4/7·3/6=12/42=2/7≈0,286. Se V: D 3B 3P 1V → 3/7·2/6=6/42=1/7. P = ½·2/7+½·1/7 = 3/14 ≈ 0,214.
Hmm, a conta me deu opção 4 com 0,20 e opção 5 com 0,214. A opção 5 é maior.
Mas deixa eu recalcular opção 4 mais cuidadosamente:
- Urna D inicial: 3B 3P. Urna C inicial: 2P 2V.
- Passar uma bola aleatória de D para C. D tem 50% B, 50% P.
- Se bola transferida é P: C fica 3P 2V (5 bolas, 3 pretas).
- Se bola transferida é B: C fica 1B 2P 2V (5 bolas, 2 pretas).
- Agora retirar 2 bolas de C sem reposição:
- Caso P: P(PP) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.
- Caso B: P(PP) = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10.
- Total: ½(3/10) + ½(1/10) = ½·4/10 = 2/10 = 0,2.
Opção 5 (C → D, depois D):
- D inicial: 3B 3P. C inicial: 2P 2V. Passar bola de C para D (C tem 50% P, 50% V).
- Se P: D fica 3B 4P (7 bolas, 4 pretas).
- Se V: D fica 3B 3P 1V (7 bolas, 3 pretas).
- Retirar 2 de D:
- Caso P: 4/7·3/6 = 12/42 = 2/7 ≈ 0,286.
- Caso V: 3/7·2/6 = 6/42 = 1/7 ≈ 0,143.
- Total: ½·2/7 + ½·1/7 = 3/14 ≈ 0,214.
Então opção 5 > opção 4 > opção 3 > opções 1 e 2. Gabarito: E. Confere.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: cálculos mostram opção 5 com P ≈ 0,214.
- Síntese: opção 5.
Passo 4 — Resolução Completa
Subpasso 4.1 — Calcular cada opção
Conforme Passo 2.
Subpasso 4.2 — Comparar
Opção 5 é a maior (3/14).
Subpasso 4.3 — Alternativa E.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 1 (1/15). ❌
B) 2 (1/15). ❌
C) 3 (4/42 ≈ 0,095). ❌
D) 4 (1/5 = 0,20). ❌ (menor que opção 5)
E) 5 (3/14 ≈ 0,214). ✅ Correta.
Gabarito: E
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: opção 5 maximiza.
- Padrão de cobrança: probabilidade condicional é tema clássico.
- Generalização: passar bola específica pode aumentar chance na urna de destino.
- Dica de eliminação rápida: opções sem transferência (1 e 2) costumam dar menos prob.