Mapa de questões · 2º dia
Questão 180 — ENEM 2011Caderno azul · 2º Dia
Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Inequação do 1º grau
- ⚡ Nível: Fácil — não ter prejuízo é lucro maior ou igual a zero.
- 🎯 Tema/Habilidade: Quantidade mínima para não ter prejuízo.
- 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: a quantidade mínima de produtos para a indústria não ter prejuízo.
- Estrutura da questão: o lucro é a diferença entre faturamento e custo. Não ter prejuízo significa essa diferença ser não negativa.
- Armadilha antecipada: resolver a igualdade e responder o ponto de equilíbrio sem verificar se ele satisfaz a condição. Aqui o próprio ponto de equilíbrio serve, pois lucro zero não é prejuízo.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Lucro total é LT(q) = FT(q) − CT(q), a diferença entre o que entra e o que sai.
Não ter prejuízo significa LT(q) ≥ 0, incluindo o caso de lucro exatamente igual a zero.
Como a quantidade produzida é um número inteiro, a resposta é o menor inteiro que satisfaz a inequação.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Monte a função lucro: LT(q) = 5q − (2q + 12) = 3q − 12.
Imponha a condição de não haver prejuízo: 3q − 12 ≥ 0, logo 3q ≥ 12 e q ≥ 4.
O menor inteiro que satisfaz é 4 — alternativa D.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. Com q = 0 o lucro seria −12: só custo fixo, sem faturamento algum.
- B) ✗ Incorreta. Com q = 1 o lucro é 3 − 12 = −9, ainda prejuízo.
- C) ✗ Incorreta. Com q = 3 o lucro é 9 − 12 = −3, ainda negativo.
- D) ✓ Correta. Com q = 4 o lucro é 12 − 12 = 0: não há prejuízo, e é a menor quantidade que atende à condição.
- E) ✗ Incorreta. Com q = 5 há lucro de 3, mas a pergunta é pela quantidade mínima, que é menor.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Não ter prejuízo inclui lucro zero. Se fosse ter lucro, a resposta seria a quantidade seguinte.
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