Mapa de questões · 2º dia
Questão 155 — ENEM 2011Caderno azul · 2º Dia
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α=30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Trigonometria (ângulo externo e triângulo isósceles)
- ⚡ Nível: Muito difícil — o ângulo 2α é externo, e isso muda tudo.
- 🎯 Tema/Habilidade: Menor distância do barco ao ponto P.
- 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: a menor distância entre a trajetória do barco e o ponto fixo P.
- Estrutura da questão: o navegante vê P sob ângulo α em A e sob 2α em B, e percorre 2 000 m entre os dois pontos.
- Armadilha antecipada: tratar 2α como ângulo interno do triângulo em B. Ele é o ângulo de visada, externo ao triângulo ABP.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Teorema do ângulo externo: o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois internos não adjacentes. Aqui, 2α = α + ângulo em P, logo o ângulo em P vale α.
Se dois ângulos do triângulo são iguais, ele é isósceles — e os lados opostos a esses ângulos também são iguais. Como o ângulo em A e o ângulo em P medem α, tem-se BP = AB = 2 000 m.
A menor distância de um ponto a uma reta é o segmento perpendicular a ela.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Com α = 30°, o ângulo de visada em B vale 60° e é externo ao triângulo. O ângulo interno em B mede 120°, e o ângulo em P mede 30°.
Ângulos iguais em A e em P tornam o triângulo isósceles, com BP = AB = 2 000 m.
A menor distância é a perpendicular de P à trajetória: d = BP · sen 60° = 2 000 × (√3/2) = 1 000√3 m — alternativa B.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 1 000 m seria BP · sen 30°, usando o ângulo errado na decomposição da perpendicular.
- B) ✓ Correta. É o resultado de 2 000 × sen 60°, com BP = 2 000 m obtido pela propriedade do triângulo isósceles.
- C) ✗ Incorreta. 2 000√3/3 equivale a 2 000 ÷ √3, resultado de dividir em vez de multiplicar pelo seno.
- D) ✗ Incorreta. 2 000 m é o comprimento do segmento BP, e não a distância perpendicular até a trajetória.
- E) ✗ Incorreta. 2 000√3 excede o próprio lado BP, o que é impossível para um cateto do triângulo retângulo formado.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Ângulo de visada medido a partir da trajetória é externo. Aplicar o teorema do ângulo externo revela o triângulo isósceles.
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