Mapa de questões · 2º dia
Questão 174 — ENEM 2011Caderno azul · 2º Dia
O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise combinatória (ordenação)
- ⚡ Nível: Difícil — contar quantos números vêm antes, prefixo a prefixo.
- 🎯 Tema/Habilidade: A posição de 75 913 na lista ordenada.
- 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: a ordem de chamada do candidato que recebeu o número 75 913.
- Estrutura da questão: os números têm 5 algarismos distintos, todos ímpares. É preciso contar quantos antecedem o número dado.
- Armadilha antecipada: esquecer de somar 1 no fim. Contar os anteriores dá 88; a posição do próprio número é a seguinte.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Os algarismos ímpares disponíveis são 1, 3, 5, 7 e 9 — cinco ao todo. Com 5 posições distintas, há 5! = 120 números possíveis.
A contagem por prefixo é o método: fixa-se o primeiro algarismo e conta-se quantas permutações restam para os demais.
Fixando um primeiro algarismo, restam 4! = 24 arranjos. Fixando os dois primeiros, restam 3! = 6, e assim por diante.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Números começando por 1, 3 ou 5 vêm todos antes: 3 × 4! = 72.
Começando por 7, com segundo algarismo menor que 5 — ou seja, 1 ou 3: 2 × 3! = 12. Subtotal: 84.
Começando por 75, com terceiro algarismo menor que 9 — ou seja, 1 ou 3: 2 × 2! = 4. Subtotal: 88. Como 75 913 vem antes de 75 931, sua posição é 88 + 1 = 89 — alternativa E.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 24 é o número de permutações que se seguem à fixação de um único algarismo inicial.
- B) ✗ Incorreta. 31 não corresponde a nenhuma etapa da contagem por prefixos.
- C) ✗ Incorreta. 32 também não resulta da soma dos blocos anteriores ao número dado.
- D) ✗ Incorreta. 88 é a quantidade de números que antecedem 75 913, e não sua posição na lista.
- E) ✓ Correta. São 88 números anteriores, logo 75 913 ocupa a posição 89.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Conte os anteriores e some 1. Esquecer essa última unidade é o erro que separa 88 de 89.
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