Mapa de questões · 2º dia
Questão 150 — ENEM 2011Caderno azul · 2º Dia
Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
A reta de equação y=x+4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P=(-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria analítica
- ⚡ Nível: Médio — o ponto tem de cumprir duas condições ao mesmo tempo.
- 🎯 Tema/Habilidade: Localizar a estação de metrô na reta, perto do hospital.
- 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: onde deve ficar a estação de metrô.
- Estrutura da questão: duas exigências: estar sobre a reta y = x + 4 e ficar a no máximo 5 km do hospital em P = (−5, 5).
- Armadilha antecipada: testar só uma das condições. Há pontos na reta que ficam longe demais, e pontos próximos que não estão na reta.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Um ponto pertence a uma reta quando suas coordenadas satisfazem a equação dela. Basta substituir e verificar a igualdade.
A distância entre dois pontos é dada por d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
Como só o valor da distância importa para a comparação, dá para trabalhar com o quadrado dela e comparar com 25.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Primeiro filtro, pertencer à reta: (−3, 1) satisfaz, pois 1 = −3 + 4. Também satisfazem (0, 4) e (2, 6). Os pontos (−5, 0) e (−2, 1) não satisfazem.
Segundo filtro, distância até (−5, 5): para (−3, 1), d² = 2² + 4² = 20, logo d ≈ 4,5 km, dentro do limite. Para (0, 4), d² = 25 + 1 = 26, já acima. Para (2, 6), d² = 49 + 1 = 50, muito acima.
Só (−3, 1) cumpre as duas condições — alternativa B.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. (−5, 0) não pertence à reta: substituindo, y deveria valer −1, e não 0.
- B) ✓ Correta. Satisfaz a equação da reta e fica a cerca de 4,5 km do hospital, dentro do limite de 5 km.
- C) ✗ Incorreta. (−2, 1) não pertence à reta: para x = −2, o y da reta é 2.
- D) ✗ Incorreta. Está na reta, mas a distância até o hospital é √26, pouco acima dos 5 km permitidos.
- E) ✗ Incorreta. Está na reta, porém a mais de 7 km do hospital — bem acima do limite.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Duas condições exigem dois testes. Aplique o filtro mais rápido primeiro: verificar a equação é mais simples que calcular distância.
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