Mapa de questões · 2º dia
Questão 177 — ENEM 2010 PPLCaderno azul · 2º Dia
Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade.
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem.
Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional ( h )?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Volume do cilindro
- ⚡ Nível: Difícil — raio pela metade divide a base por quatro.
- 🎯 Tema/Habilidade: A altura da nova embalagem.
- 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: que expressão relaciona a nova altura à original.
- Estrutura da questão: a capacidade cai a um terço e o raio é reduzido à metade.
- Armadilha antecipada: supor que reduzir o raio à metade divide o volume por dois. A área da base cai a um quarto.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
O volume do cilindro é πr²h: ele depende do quadrado do raio.
Reduzir o raio à metade faz a área da base cair a um quarto da original.
Para que o volume final seja um terço, a altura precisa compensar essa queda.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Volume original: πr²h. Novo volume desejado: πr²h/3.
Novo raio: r/2, o que dá área de base π(r/2)² = πr²/4.
Igualando: (πr²/4)·a = πr²h/3, logo a = 4h/3 — alternativa D.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. h/12 corresponderia a uma redução muito maior da capacidade.
- B) ✗ Incorreta. h/6 não satisfaz a igualdade entre os volumes.
- C) ✗ Incorreta. 2h/3 ignora o efeito do quadrado do raio.
- D) ✓ Correta. Com a base reduzida a um quarto, a altura precisa ser 4h/3 para que o volume caia a um terço.
- E) ✗ Incorreta. 4h/9 não decorre da igualdade montada.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Raio pela metade, base pelo quarto. A altura tem de crescer para compensar.
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