Mapa de questões · 2º dia
Questão 172 — ENEM 2010 PPLCaderno azul · 2º Dia
Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.
Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria plana
- ⚡ Nível: Difícil — a diagonal do quadrado dos centros entra na conta.
- 🎯 Tema/Habilidade: O raio do tubo maior.
- 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: qual deve ser o raio do tubo maior.
- Estrutura da questão: quatro tubos de raio 6 cm devem caber sem folga dentro de um tubo maior.
- Armadilha antecipada: somar apenas dois raios. É preciso considerar a distância diagonal do centro até o centro de um tubo menor.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Os centros dos quatro círculos menores tangentes entre si formam um quadrado de lado igual ao dobro do raio.
O centro do círculo maior coincide com o centro desse quadrado, e a distância até cada centro menor é metade da diagonal.
O raio maior é essa distância acrescida do raio de um círculo menor.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Lado do quadrado dos centros: 2 × 6 = 12 cm. Metade da diagonal: 12√2 ÷ 2 = 6√2 cm.
Some o raio de um tubo menor: 6√2 + 6.
O raio do tubo maior é 6(1 + √2) cm — alternativa D.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 12 cm corresponde à soma de dois raios, sem considerar a disposição diagonal.
- B) ✗ Incorreta. 12√2 é a diagonal completa do quadrado dos centros.
- C) ✗ Incorreta. 24√2 excede em muito a medida obtida.
- D) ✓ Correta. É a soma de 6√2, metade da diagonal do quadrado dos centros, com o raio de 6 cm.
- E) ✗ Incorreta. 12(1 + √2) corresponde ao dobro do valor correto.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Os centros formam quadrado. Metade da diagonal mais um raio dá o raio maior.
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