Mapa de questões · 2º dia
Questão 167 — ENEM 2010 PPLCaderno azul · 2º Dia
O trabalho em empresas de festas exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal.
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta:
FUNCIONÁRIO I: aproximadamente 200 estrelas. FUNCIONÁRIO II: aproximadamente 6000 estrelas. FUNCIONÁRIO III: aproximadamente 12000 estrelas. FUNCIONÁRIO IV: aproximadamente 22500 estrelas. FUNCIONÁRIO V: aproximadamente 22800 estrelas.
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Soma de PA
- ⚡ Nível: Médio — a linha n tem n estrelas.
- 🎯 Tema/Habilidade: A estimativa correta do número de estrelas.
- 🏆 Gabarito: C — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: qual funcionário apresentou a estimativa mais próxima.
- Estrutura da questão: o painel terá 150 linhas, e o esboço mostra as cinco primeiras.
- Armadilha antecipada: multiplicar o número de linhas por uma quantidade fixa de estrelas. A quantidade cresce a cada linha.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
O padrão do esboço mostra que cada linha tem tantas estrelas quanto seu número de ordem.
A soma de 1 até n é dada por n(n + 1)/2.
Com n = 150, o total é 150 × 151 ÷ 2.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Identifique o padrão: a linha 1 tem 1 estrela, a linha 2 tem 2, e assim por diante.
Some de 1 a 150: 150 × 151 ÷ 2 = 11 325 estrelas.
O valor mais próximo é o do funcionário III, que estimou cerca de 12 000 — alternativa C.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 200 estrelas está muito abaixo do total calculado.
- B) ✗ Incorreta. 6 000 corresponde a pouco mais da metade do total.
- C) ✓ Correta. O total é 11 325 estrelas, valor próximo da estimativa de 12 000.
- D) ✗ Incorreta. A estimativa desse funcionário se afasta mais do total real.
- E) ✗ Incorreta. A estimativa também não se aproxima do valor calculado.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Soma de 1 a n é n vezes n mais um, dividido por dois. Vale sempre.
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