Questão 136 — ENEM 2014 Reaplicação

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão aritmética
• ⚡ Nível: Médio — a média da PA é a média dos extremos.
• 🎯 Tema/Habilidade: A duração do programa de condicionamento.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

🔎 Passo 1 — O que a questão pede

• Comando: por quantos dias o atleta deve participar do programa.
• Estrutura da questão: ele corre 1 000 m no primeiro dia e acrescenta 200 m a cada dia, com média de 1 700 m por dia.
• Armadilha antecipada: procurar o dia em que ele corre 1 700 m. A média é dos dias todos, não a distância de um dia.

📚 Passo 2 — O conceito em jogo

As distâncias diárias formam uma progressão aritmética de primeiro termo 1 000 e razão 200.

Em uma PA, a média dos termos é igual à média entre o primeiro e o último: (a₁ + aₙ)/2.

Igualando essa média ao valor desejado, obtém-se o último termo e, dele, o número de dias.

🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta

Da média: (1 000 + aₙ)/2 = 1 700, logo aₙ = 2 400 m.

Do termo geral: 1 000 + (n − 1)·200 = 2 400, portanto (n − 1)·200 = 1 400.

Resolvendo: n − 1 = 7 e n = 8 dias — alternativa B.

🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas

• A) ✗ Incorreta. Com 9 dias o último termo seria 2 600 m e a média subiria para 1 800 m.
• B) ✓ Correta. Com 8 dias o último termo é 2 400 m, e a média entre 1 000 e 2 400 é exatamente 1 700 m.
• C) ✗ Incorreta. Com 5 dias a média seria de 1 400 m por dia.
• D) ✗ Incorreta. Com 4 dias a média seria de 1 300 m por dia.
• E) ✗ Incorreta. Com 2 dias a média seria de 1 100 m por dia.

🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão

Média de PA é média dos extremos. Ache o último termo e conte os dias.