Mapa de questões · 2º dia
Questão 143 — ENEM 2011 PPLCaderno cinza · 2º Dia
Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.
Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa. No exemplo anterior, o segmento A1 B1 da figura 1, contido na reta r1, transformou-se no segmento A2 B2 da figura 2, contido na reta r2. Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta r1 sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento An Bn estará contido na reta rn.
A equação algébrica que descreve rn, no plano cartesiano, é
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria analítica
- ⚡ Nível: Muito difícil — só o x é multiplicado por n.
- 🎯 Tema/Habilidade: A equação da reta após a transformação.
- 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: qual é a equação da reta obtida após a transformação.
- Estrutura da questão: o comprimento da imagem é multiplicado por n e a largura permanece constante.
- Armadilha antecipada: multiplicar as duas coordenadas por n. Só a horizontal é alterada.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
A reta original corta os dois eixos em 3, o que dá a equação x + y = 3.
Esticar apenas o comprimento multiplica a abscissa de cada ponto por n e mantém a ordenada.
Os interceptos passam a ser (3n, 0) e (0, 3).
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Escreva a equação original a partir dos interceptos: x + y = 3.
Aplique a transformação aos interceptos: (3, 0) vira (3n, 0) e (0, 3) permanece.
Monte a reta por esses pontos: x/(3n) + y/3 = 1, ou seja, x + ny = 3n — alternativa A.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✓ Correta. Os novos interceptos (3n, 0) e (0, 3) geram exatamente x + ny = 3n.
- B) ✗ Incorreta. O sinal negativo não corresponde a uma reta com interceptos positivos.
- C) ✗ Incorreta. O sinal do termo em y está trocado.
- D) ✗ Incorreta. Multiplicar os dois termos por n equivale à equação original, sem transformação.
- E) ✗ Incorreta. Os coeficientes não correspondem aos interceptos obtidos.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Estica só na horizontal: o x cresce e o y fica onde está.
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