Mapa de questões · 2º dia
Questão 166 — ENEM 2014 PPL
Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.
Dados: O volume de uma esfera de raio r é 4/3 · π · r3; O volume do cilindro de altura h e área da base S é S · h; O volume do cone de altura h e área da base S é 1/3 · S · h;
Por simplicidade, aproxime π para 3 .
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é
Alternativas
Resolução em Vídeo
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Volumes
- ⚡ Nível: Difícil — cone mais semiesfera, e o resto é descarte.
- 🎯 Tema/Habilidade: O volume de madeira descartada.
- 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: qual é o volume de madeira descartada na confecção do pião.
- Estrutura da questão: o cilindro de madeira é trabalhado até formar um cone na base e uma semiesfera no topo.
- Armadilha antecipada: usar o volume de uma esfera inteira. Apenas metade dela integra o pião.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
O raio da base é a metade do diâmetro indicado, ou seja, 3 cm.
O pião é formado por um cone de altura 4 cm e uma semiesfera de raio 3 cm.
O descarte é a diferença entre o volume do cilindro e o volume do pião.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Calcule o volume do cilindro: 3 × 9 × 7 = 189 cm³.
Calcule o pião: cone 36 cm³ mais semiesfera 54 cm³, totalizando 90 cm³.
Subtraia: 189 − 90 = 99 cm³ — alternativa E.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 45 cm³ corresponderia a metade do volume do pião.
- B) ✗ Incorreta. 48 cm³ não decorre da diferença calculada.
- C) ✗ Incorreta. 72 cm³ não corresponde ao descarte obtido.
- D) ✗ Incorreta. 90 cm³ é o volume do pião, e não o descarte.
- E) ✓ Correta. O cilindro tem 189 cm³ e o pião, 90 cm³, restando 99 cm³ de descarte.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Metade da esfera, não a esfera inteira. Aí sai o descarte certo.
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