Questão 142 — ENEM 2014 PPL

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Dízimas periódicas
• ⚡ Nível: Difícil — só o bloco 12 se repete.
• 🎯 Tema/Habilidade: A fração equivalente ao índice de popularidade.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa

🔎 Passo 1 — O que a questão pede

• Comando: que quantidades relativas o índice revela.
• Estrutura da questão: o índice é a dízima periódica 0,3121212 e sucessivamente.
• Armadilha antecipada: tratar o 3 como parte do período. Ele aparece uma única vez antes da repetição.

📚 Passo 2 — O conceito em jogo

Em uma dízima periódica mista, há um antiperíodo antes do bloco que se repete.

Aqui o antiperíodo é o algarismo 3 e o período é o bloco 12.

A fração geratriz se obtém subtraindo as duas potências de dez adequadas.

🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta

Chame o número de x e multiplique por 10 e por 1 000.

Subtraia: 1 000x − 10x = 312 − 3, ou seja, 990x = 309.

Simplifique: x = 309/990 = 103/330 — alternativa A.

🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas

• A) ✓ Correta. A fração geratriz da dízima é 309/990, que simplificada dá 103/330.
• B) ✗ Incorreta. 104/333 corresponderia a outro padrão de repetição.
• C) ✗ Incorreta. 104/3 333 não reproduz a dízima apresentada.
• D) ✗ Incorreta. 139/330 não corresponde ao valor do índice.
• E) ✗ Incorreta. 1 039/3 330 não é a fração geratriz da dízima dada.

🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão

O três aparece uma vez só. É antiperíodo, não período.