Mapa de questões · 2º dia
Questão 150 — ENEM 2015 PPLCaderno azul · 2º Dia
Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.
A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x2+y2-2 x-4 y-31 ≤ 0.
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas
Alternativas
Resolução em Vídeo
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria analítica
- ⚡ Nível: Difícil — complete os quadrados primeiro.
- 🎯 Tema/Habilidade: Os estabelecimentos cobertos pelo sinal da rádio.
- 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: quais estabelecimentos estão na área de cobertura.
- Estrutura da questão: a cobertura é dada por x² + y² − 2x − 4y − 31 ≤ 0.
- Armadilha antecipada: tentar testar os pontos sem antes identificar centro e raio da circunferência.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Completar quadrados transforma a inequação em (x − 1)² + (y − 2)² ≤ 36.
Isso descreve o círculo de centro (1, 2) e raio 6.
Um ponto está coberto se sua distância ao centro for no máximo 6.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Complete os quadrados: x² − 2x vira (x − 1)² − 1 e y² − 4y vira (y − 2)² − 4.
A inequação fica (x − 1)² + (y − 2)² ≤ 31 + 1 + 4 = 36, ou seja, raio 6 em torno de (1, 2).
Localizando os pontos na figura, A, B e C ficam dentro e D fica fora — alternativa D.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. Deixa B de fora, embora ele esteja dentro do círculo.
- B) ✗ Incorreta. Ignora o ponto A, que também está coberto.
- C) ✗ Incorreta. Inclui D, que está fora do raio de 6.
- D) ✓ Correta. A, B e C estão a no máximo 6 unidades de (1, 2); D não.
- E) ✗ Incorreta. Inclui D, que fica fora da cobertura.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Complete os quadrados: a inequação vira um círculo com centro e raio.
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