Mapa de questões · 2º dia
Questão 165 — ENEM 2012 PPL
Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:
copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
Vtronco de cone =(π h)/3(R2+r2+R r)
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja, no mínimo, igual a
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Volume de tronco de cone
- ⚡ Nível: Difícil — a caneca precisa caber o maior copo.
- 🎯 Tema/Habilidade: O raio mínimo da caneca cilíndrica.
- 🏆 Gabarito: C — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: qual deve ser o valor de y para a caneca substituir os dois copos.
- Estrutura da questão: a caneca cilíndrica tem 6 cm de altura e substituirá copos de café e de água.
- Armadilha antecipada: somar os volumes dos dois copos. A caneca será usada para um ou para outro, não para os dois ao mesmo tempo.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
O volume do tronco de cone é dado pela fórmula fornecida no enunciado.
O volume do cilindro é πy² multiplicado pela altura de 6 cm.
Para servir aos dois usos, basta que a caneca comporte o maior dos dois copos.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Calcule o volume de cada copo pela fórmula do tronco de cone.
Iguale o volume do cilindro ao do copo maior, o de água.
A condição resultante é y² ≥ 12,160 cm², portanto o menor valor é 12,160 — alternativa C.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 2,664 atende apenas ao copo pequeno, de café.
- B) ✗ Incorreta. 7,412 não corresponde a nenhum dos dois volumes calculados.
- C) ✓ Correta. É o valor exigido pelo copo grande, que é o maior dos dois.
- D) ✗ Incorreta. 14,824 corresponderia à soma dos dois volumes.
- E) ✗ Incorreta. 19,840 excede a exigência de qualquer um dos copos.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Ou café ou água. Basta caber o maior dos dois, não os dois juntos.
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