Mapa de questões · 2º dia
Questão 159 — ENEM 2012 PPL
Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R20,00. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R 0,20 para cada 100 cm2. A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. (Aproxime π para 3.)
O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Cilindro
- ⚡ Nível: Difícil — sem tampa e custo pela área.
- 🎯 Tema/Habilidade: O motivo da rejeição do orçamento.
- 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: por que o orçamento foi rejeitado pela prefeitura.
- Estrutura da questão: o novo raio é o triplo do anterior e a altura aumenta em 10 cm, com π aproximado por 3.
- Armadilha antecipada: incluir a tampa no cálculo da área. A lixeira é aberta em cima.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
A área da lixeira é a lateral, 2πrh, somada apenas ao fundo, πr².
O volume do cilindro é πr²h e cresce com o quadrado do raio.
O custo é proporcional à área: R$ 0,20 a cada 100 cm² de material.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Verifique a capacidade: o volume passa de 15 000 cm³ para 162 000 cm³, ou 10,8 vezes maior, o que atende ao mínimo exigido.
Calcule a área nova: 2 × 3 × 30 × 60 + 3 × 30² = 10 800 + 2 700 = 13 500 cm².
Calcule o custo: 135 × R$ 0,20 = R$ 27,00, acima do limite de R$ 20,00 — alternativa B.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. R$ 21,60 corresponderia apenas à área lateral, sem o fundo.
- B) ✓ Correta. A área total de 13 500 cm² resulta em custo de R$ 27,00, acima do limite estabelecido.
- C) ✗ Incorreta. R$ 32,40 incluiria também a tampa, que não existe.
- D) ✗ Incorreta. A capacidade ficou 10,8 vezes maior, e não 3.
- E) ✗ Incorreta. O aumento de 9 vezes desconsideraria o crescimento da altura.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
A capacidade passou. Foi o preço que reprovou o orçamento.
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