Mapa de questões · 2º dia
Questão 152 — ENEM 2012 PPL
O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação =60-36(60 % de 60) =24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação.
Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função quadrática
- ⚡ Nível: Médio — o máximo está no vértice.
- 🎯 Tema/Habilidade: O limite máximo de pontos na competição.
- 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: qual é o limite máximo de pontos que um participante pode alcançar.
- Estrutura da questão: a pontuação é o número de moedas menos essa mesma porcentagem do total coletado.
- Armadilha antecipada: supor que quanto mais moedas, maior a pontuação. Acima de certo ponto, o desconto cresce mais rápido.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Chamando de n o número de moedas, a pontuação é P(n) = n − n²/100.
Trata-se de uma função quadrática com concavidade para baixo.
O valor máximo dessa função ocorre no vértice da parábola.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Escreva a função: P(n) = n − n²/100.
Localize o vértice: o máximo ocorre em n = 50 moedas.
Calcule a pontuação nesse ponto: 50 − 25 = 25 pontos — alternativa B.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. Zero é a pontuação em n = 0 e em n = 100, e não o máximo.
- B) ✓ Correta. Com 50 moedas coletadas, a pontuação atinge o valor máximo de 25 pontos.
- C) ✗ Incorreta. 50 é o número de moedas do ponto ótimo, e não a pontuação.
- D) ✗ Incorreta. 75 não é atingível pela função descrita.
- E) ✗ Incorreta. 100 seria a pontuação se não houvesse desconto algum.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Coletar demais desconta demais. O ponto ótimo é cinquenta moedas.
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