Questão 136 — ENEM 2023 PPL

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Matemática → Análise combinatória (combinação simples C(n,k)) + Probabilidade clássica (casos favoráveis / casos totais) + Raciocínio com amostras sem reposição.
• Nível: Médio — exige reconhecer que a ordem não importa (escolhemos 5 ao mesmo tempo) e montar o quociente de combinações.
• Tema/Habilidade BNCC: modelos probabilísticos em situações cotidianas.
• Gabarito: B — 1/12.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre 10 computadores (7 perfeitos + 3 defeituosos), ao retirar 5 aleatoriamente e sem reposição, qual a probabilidade de os 5 contemplarem todos os 3 defeituosos?"
• Palavras-chave decisivas: 3 defeituosos + 7 perfeitos = 10, compra aleatória de 5, probabilidade de levar os 3 defeituosos.
• Armadilha típica: calcular pela multiplicação sequencial de frações (3/10 × 2/9 × 1/8 × 7/7 × 6/6) sem lembrar que a ordem dessas 5 escolhas não importa — o que acaba subestimando o resultado.
• Critério de acerto: usar a razão entre combinações: C(3,3)·C(7,2) / C(10,5).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples: C(n,k) = n! / [k!(n−k)!] — número de maneiras de escolher k objetos de um conjunto de n sem repetição e sem considerar a ordem.
• Probabilidade clássica: P(A) = |favoráveis| / |total|, supondo equiprobabilidade dos casos.
• Casos totais: todas as formas de escolher 5 entre os 10 computadores: C(10,5) = 252.
• Casos favoráveis: escolher os 3 defeituosos (C(3,3) = 1 maneira) e mais 2 entre os 7 perfeitos (C(7,2) = 21 maneiras). Total: 1 × 21 = 21.
• Probabilidade: 21 / 252 = 1/12.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "compra de cinco computadores... aleatoriamente dentre os dez" → 5 escolhidos de 10, sem reposição, ordem irrelevante.
• Evidência 2: "levado todos os três computadores defeituosos" → os 3 defeituosos estarão no conjunto de 5.
• Síntese: é uma distribuição hipergeométrica clássica, equivalente a calcular C(3,3)·C(7,2)/C(10,5).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Casos totais

$$\text{Total}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{5}\right)=\frac{10!}{5!\cdot 5!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{30240}{120}=252$$

Subpasso 4.2 — Casos favoráveis

• Os 3 defeituosos devem estar na amostra: apenas 1 maneira de escolher todos eles:

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=1$$

• Os 2 restantes da amostra devem vir dos 7 perfeitos:

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{7\cdot 6}{2}=21$$

• Casos favoráveis totais: 1 × 21 = 21.

Subpasso 4.3 — Probabilidade

$$P=\frac{21}{252}=\frac{1}{12}$$

Subpasso 4.4 — Verificação por abordagem sequencial

• Probabilidade de a 1ª, 2ª e 3ª escolha serem defeituosas (em alguma ordem específica):

$$\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}=\frac{6}{720}=\frac{1}{120}$$

• Número de posições possíveis para os 3 defeituosos entre as 5 escolhidas: C(5,3) = 10.
• Multiplicando: 10 · (1/120) = 1/12 ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/72.

❌ Incorreta. Valor que aparece se o aluno computar 3/10·2/9·1/8·7/7·6/6 e dividir por algo errado; não corresponde.

B) 1/12. ✅ Correta.

Calculado por C(3,3)·C(7,2) / C(10,5) = 21/252 = 1/12.

C) 1/4.

❌ Incorreta. Valor muito alto (25%); superestima a probabilidade de pegar os 3 defeituosos.

D) 3/10.

❌ Incorreta. 3/10 = 0,3; corresponde à probabilidade de pegar um defeituoso numa única tentativa, não três.

E) 3/7.

❌ Incorreta. Razão defeituosos/perfeitos, mas não é probabilidade.

🏆 Gabarito: B — 1/12.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: distribuição hipergeométrica — C(defeituosos, queremos_todos) · C(perfeitos, resto) / C(total, amostra).
• Padrão de cobrança ENEM: probabilidade com amostragem sem reposição (urnas, baralhos, sorteios) é clássica. Reconhecer quando usar combinações ou sequência.
• Generalização: Regra da hipergeométrica —

$$P=\frac{C(defeitos,k)\cdot C(perfeitos,n-k)}{C(total,n)}$$

• Dica de eliminação: valores muito "redondos" (3/10, 3/7, 1/4) costumam ser distratores sem base em combinação. A resposta correta aparece como fração não-trivial (1/12, 1/72, etc.).
• Conexões: controle de qualidade (amostragem), teste de hipóteses em estatística, combinatória em jogos de azar (Mega-Sena), princípio multiplicativo.