Questão 141 — ENEM 2022Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (função definida por partes, modelagem algébrica)
• ⚡ Nível: Médio — exige modelar um salário com comissão por faixa, sem misturar as duas sentenças
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Construção de expressões algébricas que representam situações contextualizadas; funções por partes
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escrever S(q), o salário mensal, como uma função de q (número de peças vendidas), sabendo que há uma parte fixa, uma comissão de R$ 8,00 por peça até a 50ª e R$ 12,00 por peça a partir da 51ª."
• Palavras-chave decisivas: parcela fixa, até a 50ª peça, a partir da 51ª, comissão, S(q) em função de q
• Armadilha típica: Escrever a segunda sentença como se cada peça custasse R$ 12,00 desde a primeira (aplicar o valor maior a todas as peças), esquecendo que as 50 primeiras ainda pagam R$ 8,00. Quem comete esse erro obtém S(q) = 750 + 12q para q > 50, que superestima o salário.
• O que a resposta precisa demonstrar: Dois ramos. Para q ≤ 50: parte fixa + 8·q. Para q > 50: parte fixa + 8·50 (as 50 primeiras) + 12·(q − 50) (as excedentes), que, simplificado, vale 550 + 12q. A função final é uma função por partes.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função definida por partes: É aquela cuja regra muda conforme a variável pertence a um ou outro intervalo. Aqui, q muda o comportamento da comissão no valor q = 50. Abaixo desse limite, a taxa é R$ 8,00/peça; acima, R$ 12,00/peça apenas para as peças excedentes.
• Modelagem por faixa: Uma comissão "até X, valor A; depois, valor B" típica leva a S(q) = A·q para q ≤ X e S(q) = A·X + B·(q − X) para q > X. A simplificação do segundo ramo reescreve o termo constante: A·X + B·(q − X) = (A·X − B·X) + B·q = (A − B)·X + B·q, que, se A < B, é um termo menor somado a B·q.
• Parcela fixa: Independe de q. É adicionada em ambos os ramos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "salário mensal formado por uma parcela fixa de 750 reais" → toda expressão de S(q) começa com 750 somado.
• Evidência 2: "até a quinquagésima peça vendida, paga-se 8 reais por peça" → para q ∈ {1, 2, …, 50}, a comissão é 8q.
• Evidência 3: "a partir da quinquagésima primeira peça vendida, o valor pago é de 12 reais por peça" → as peças além da 50ª valem R$ 12 cada; como são q − 50 dessas peças, a contribuição é 12(q − 50). As 50 primeiras continuam valendo 8 cada, totalizando 8 × 50 = 400.
• Síntese: Dois ramos. Para q ≤ 50: S(q) = 750 + 8q. Para q > 50: S(q) = 750 + 400 + 12(q − 50) = 750 + 400 + 12q − 600 = 550 + 12q.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever o ramo "até 50 peças"

Se q ∈ {0, 1, 2, …, 50}, o funcionário recebe a parte fixa e mais R$ 8,00 por cada uma das q peças vendidas:

S(q) = 750 + 8q, para q ≤ 50.

Essa é a função afim mais simples de modelar. Em q = 0, S(0) = 750 (só o fixo). Em q = 50, S(50) = 750 + 400 = 1 150.

Subpasso 4.2 — Escrever o ramo "acima de 50 peças"

Se q > 50, as 50 primeiras peças ainda são pagas à taxa de R$ 8,00 cada (total 8 × 50 = 400), e as (q − 50) peças adicionais pagam R$ 12,00 cada:

S(q) = 750 + 8 × 50 + 12 × (q − 50)

= 750 + 400 + 12q − 600.

Simplificando:

S(q) = (750 + 400 − 600) + 12q

= 550 + 12q, para q > 50.

Subpasso 4.3 — Verificar continuidade em q = 50

Pelo primeiro ramo em q = 50: S(50) = 750 + 8 × 50 = 750 + 400 = 1 150. Pelo segundo ramo (substituindo q = 50 na expressão 550 + 12q): 550 + 12 × 50 = 550 + 600 = 1 150. Os dois ramos coincidem em q = 50, como esperado (continuidade no ponto de transição).

Subpasso 4.4 — Escrever a função por partes final

S(q) = { 750 + 8q, se q ≤ 50

{ 550 + 12q, se q > 50.

Essa é a expressão algébrica que representa corretamente o salário mensal do funcionário. Entre as alternativas com imagem, a única que traz exatamente essas duas sentenças combinadas no formato acima é a alternativa E.

Subpasso 4.5 — Verificação numérica

Testes rápidos:

• q = 0 → S(0) = 750 ✓ (só o fixo)
• q = 10 → S(10) = 750 + 80 = 830
• q = 50 → S(50) = 1 150
• q = 60 → S(60) = 550 + 720 = 1 270 ou, pela forma não simplificada: 750 + 400 + 12 × 10 = 750 + 400 + 120 = 1 270 ✓
• q = 100 → S(100) = 550 + 1 200 = 1 750 ou 750 + 400 + 12 × 50 = 750 + 400 + 600 = 1 750 ✓

Todos batem, confirmando a forma da função por partes.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) S(q) = 750 + 8q (para todo q)

❌ Incorreta: Usa a mesma taxa R$ 8,00 para qualquer valor de q, ignorando o aumento para R$ 12,00 a partir da 51ª peça. Subestima o salário de quem vende muito.

B) S(q) = 750 + 12q (para todo q)

❌ Incorreta: Usa R$ 12,00 por peça desde a primeira. Superestima o salário para q ≤ 50 porque nesse intervalo a taxa é apenas R$ 8,00. Ignora o degrau na transição.

C) S(q) = 750 + 8q, se q ≤ 50; S(q) = 750 + 12q, se q > 50

❌ Incorreta: Aplica R$ 12 a todas as q peças quando q > 50, em vez de aplicá-lo apenas às q − 50 peças excedentes. Dá salto indevido em q = 50 (descontinuidade ilegal): com q = 50 dá 1 150, com q = 51 dá 750 + 12 × 51 = 1 362, um salto de 212 reais em vez dos R$ 12 da peça extra.

D) S(q) = 750 + 8q, se q ≤ 50; S(q) = 150 + 12q, se q > 50

❌ Incorreta: Cometeu erro na simplificação do termo constante. O valor correto é 550, não 150 — o aluno fez 750 − 600 = 150, esquecendo de somar os 400 reais das 50 primeiras peças.

E) S(q) = 750 + 8q, se q ≤ 50; S(q) = 550 + 12q, se q > 50

✅ Correta: Preserva a parcela fixa de 750, paga R$ 8 pelas 50 primeiras peças e R$ 12 por cada peça adicional. A simplificação 750 + 8·50 + 12(q − 50) = 550 + 12q é correta e garante continuidade em q = 50.

🏆 Gabarito: E — Função por partes: S(q) = 750 + 8q para q ≤ 50 e S(q) = 550 + 12q para q > 50.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A letra E é a única que respeita simultaneamente a parcela fixa, a taxa antiga para as 50 primeiras peças e a taxa nova apenas para o excedente, mantendo a função contínua em q = 50.
• Padrão de cobrança: Funções por partes envolvendo tarifas escalonadas (energia elétrica, água, comissão, frete) são recorrentes no ENEM. O esquema pedagógico é sempre o mesmo: taxa A até certo ponto e taxa B acima, com B > A.
• Generalização: Tarifa de duas faixas "A até X, B a partir de X+1" gera função por partes do tipo C(q) = A·q para q ≤ X e C(q) = A·X + B·(q − X) para q > X. Reescrevendo: C(q) = (A − B)·X + B·q para q > X.
• Dica de eliminação rápida: Teste um valor como q = 60 e veja se a alternativa dá R$ 1 270 (valor correto). Alternativas que dão salto descontínuo em q = 50 (como a C) ou que têm parcela fixa errada (como a D) podem ser eliminadas sem cálculo completo.
• Conexões com outros temas: função afim, função composta, tarifas (energia, água), tributação progressiva, frete por faixas e imposto de renda.