Mapa de questões · 2º dia
Questão 149 — ENEM 2024Caderno azul · 2º Dia
Em uma empresa é comercializado um produto em embalagens em formato de cilindro circular reto, com raio medindo 3 cm, e altura medindo 15 cm. Essa empresa planeja comercializar o mesmo produto em embalagens em formato de cubo, com capacidade igual a 80% da capacidade da embalagem cilíndrica utilizada atualmente.
Use 3 como valor aproximado para π.
A medida da aresta da nova embalagem, em centímetro, deve ser
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de cilindro e cubo); radiciação
- ⚡ Nível: Médio — envolve cálculo de volume, porcentagem e raiz cúbica
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Volumes de sólidos geométricos; operações com radicais (EM13MAT503)
- 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa
🔎 Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: Qual a aresta (cm) de um cubo cujo volume é 80% do volume do cilindro de raio 3 cm e altura 15 cm, usando π = 3?
- Palavras-chave decisivas: cilindro circular reto (r=3, h=15), cubo, 80% da capacidade, π = 3 aproximado.
- Armadilha típica: Usar π ≈ 3,14 em vez de π = 3 (o enunciado MANDA usar 3), ou esquecer de extrair raiz cúbica.
- O que a resposta precisa demonstrar: a³ = 0,80 × π × r² × h → a = ∛(V_cubo).
📚 Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Volume do cilindro: V_cil = π × r² × h.
- Volume do cubo: V_cubo = a³, onde a é a aresta.
- Porcentagem de volume: V_cubo = 80% × V_cil = 0,80 × V_cil.
- Simplificação de raiz cúbica: ∛(a³ × b) = a × ∛b — procurar cubos perfeitos dentro do radicando.
🧭 Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dado 1: r = 3, h = 15, π = 3 → V_cil = 3 × 3² × 15 = 3 × 9 × 15 = 405 cm³.
- Dado 2: V_cubo = 0,80 × 405 = 324 cm³.
- Dado 3: a³ = 324 → a = ∛324.
- Síntese: Simplificar ∛324 extraindo cubo perfeito.
🧠 Passo 4 — Resolução Passo a Passo
Subpasso 4.1 — Calcular V_cilindro com π = 3:
V_cil = π × r² × h = 3 × 3² × 15 = 3 × 9 × 15 = 405 cm³.
Subpasso 4.2 — Calcular V_cubo (80% de V_cil):
V_cubo = 0,80 × 405 = 324 cm³.
Subpasso 4.3 — Calcular a aresta a = ∛324:
Fatorando 324 = 4 × 81 = 4 × 3 × 27 = 12 × 27.
Como 27 = 3³, temos: a = ∛(27 × 12) = ∛27 × ∛12 = 3∛12.
Subpasso 4.4 — Verificação: (3∛12)³ = 3³ × 12 = 27 × 12 = 324 ✓.
✅❌ Passo 5 — Análise Crítica das Alternativas
A) 6 ✗ Incorreta: 6³ = 216 ≠ 324. Subestima o volume necessário.
B) 18 ✗ Incorreta: 18³ = 5832, muito maior que 324. Resultado típico de não extrair raiz cúbica.
C) 6√6 ✗ Incorreta: (6√6)² = 216, mas a questão pede raiz cúbica, não quadrada. (6√6)³ ≠ 324.
D) 6∛6 ✗ Incorreta: (6∛6)³ = 216 × 6 = 1296 ≠ 324. Resultado típico de confundir fatoração.
E) 3∛12 ✓ Correta: (3∛12)³ = 27 × 12 = 324 = V_cubo. Aresta correta.
🏆 Gabarito: E — Usando π = 3, V_cil = 405 cm³, V_cubo = 324 cm³, e a = ∛324 = 3∛12 cm.
🏁 Passo 6 — Dica de Prova
- Padrão de cobrança: Conversão de volume entre sólidos com porcentagem é clássico em embalagens/indústria. Sempre respeite o π indicado no enunciado.
- Dica de eliminação rápida: A e B são numéricos simples — testar rapidamente a³. C tem raiz quadrada (errado). D e E têm raiz cúbica — fatorar 324 resolve.
- Generalização: Ao simplificar ∛n, procure o maior cubo perfeito (1, 8, 27, 64, 125, 216...) que divide n.
- Conexões: Volumes de sólidos; potenciação e radiciação; porcentagem.